Question

已知函數．

（1）若方程在區間內有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍；

（2）如果函數的圖像與x軸交于兩點，且，求證：（其中，是的導函數，正常數滿足）．

Answer 1

解：（1）∵，，              -----1分

       ∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減。                                                            ----3分

       ∴當x=1時，有極大值，也是最大值，即為-1，但無最小值。

       故的單調遞增區間為，單調遞減區間為；最大值為-1，但無最小值。

       方程化為，                               -----3分

       由上知，在區間上的最大值為-1，，，。故在區間上有兩個不等實根需滿足，

       ∴，∴實數m的取值范圍為。             -----6分

（2）∵，又有兩個實根，

       ∴兩式相減，得

       ∴                  -----8分

       于是

       =．

       ∵,∴,∵,∴。           -----9分

       要證：，只需證：．

       只需證：．                     （＊）

       令，∴（＊）化為

       只證即可．                                -----11分

             

              ，，0<t<1，

       ∴t-1<0．

       ∴u'（t）>0,∴u（t）在（0，1）上單調遞增，∴u（t）<u（1）=0

       ∴u（t）<0，

       即：．

                                 ．．．．．．．．．．．．．13分