Question

已知函數，有下列四個命題：
①f（x）是奇函數；
②f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞減；
④f（x）零點個數為2個；
⑤方程|f（x）|=a總有四個不同的解．
其中正確的是    ．（把所有正確命題的序號填上）

Answer 1

【答案】分析：①由題意得函數定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）又因為所以f（x）是奇函數．②令f（x）=0得．③f′（x）=1+＞0可得函數的單調性．④令f（x）=0得即解得．⑤因為f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞增且f（x）零點個數為2個所以函數y=|f（x）|在定義域內分四段結合函數的圖象可得結果．
解答：解：①由題意得函數定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）又因為所以所以f（x）是奇函數．所以①正確．
②令f（x）=0得即解得所以值域內包含有0．所以②錯誤．
③f′（x）=1+＞0所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞增；所以③錯誤．
④令f（x）=0得即解得所以f（x）零點個數為2個；所以④正確．
⑤因為f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞增且f（x）零點個數為2個所以函數y=|f（x）|在定義域內分四段，又因為a＞0所以方程|f（x）|=a總有四個不同的解；
故答案為（1）（4）（5）．
點評：解決本題的關鍵是函數的性質要熟練，結合導數解決函數的性質問題，在運用函數的性質時要注意函數的定義域．