Question

（本小題滿分14分）函數，其中，若存在實數，使得成立，則稱為的不動點.
（1）當，時，求的不動點；
（2）若對于任何實數，函數恒有兩個相異的不動點，求實數的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數的圖像上兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線是線段的垂直平分線，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1），2
（2）
（3）

（1）當，時，，設為不動點，則，
所以，即的不動點是，2。…………………………………（4分）
（2）由得，，
由已知此方程有相異的實根，則恒成立，即
，化簡得………………………………（6分）
對任意的實數恒成立，則，即，解得。…（8分）
（3）設，則，所以。
記中點，由（2）知，因為點在直線上，所以=，化簡得
（當時，等號成立）………………………………（12分）
又，所以。…………………………………………………………（14分）