Question

（本小題滿分14分）

設(shè)動圓過點(diǎn)，且與定圓內(nèi)切，動圓圓心的軌跡記為曲線，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)和點(diǎn)的距離的最大值；

（3）當(dāng)時，在（2）的條件下，設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，記△的面積為，以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值？若存在，求出此最小值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（本小題滿分14分）

（1）.    

（2） ．

（3）存在最小值．

【解析】（本小題滿分14分）

解: （1）定圓圓心為，半徑為.     --------------------------------------------1分

設(shè)動圓圓心為，半徑為，由題意知，，，      ----------------------------------------------------------------2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811462709372675/SYS201205181147243750307596_DA.files/image012.png">,

所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，     -------------3分

故曲線的方程為.     --------------------------------------------------------4分

（2）設(shè)，則

，      -----------------------------------------------------5分

令，，所以，

當(dāng)，即時，在上是減函數(shù)，

 ；          ----------------------------------------------6分

當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；                     -----------------------7分

當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，

．   -----------------------------------------------------------8分

所以， ．              --------------------------9分

（3）當(dāng)時,,于是,.

若正數(shù)滿足條件，則， -------------------------10分

即，所以 .       -----------------------------11分

令，設(shè)，則，，于是

所以，當(dāng)，即，時，，

----------------------------------------------13分

所以， ，即．所以，存在最小值． ------------------------14分

另解：當(dāng)時,,于是,.

若正數(shù)滿足條件，則， -------------------------10分

即，所以 .       ---------------------------11分

令，則，

由,得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

故當(dāng)時，， ---------------------------------------------13分

所以， ，即．所以，存在最小值．  -----------------------14分