Question

已知函數=，其中a≠0．

（1）若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．

（2）在函數的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）的取值集合為．

（2）存在使成立．且的取值范圍為 ．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設矛盾，又，故．

而令

當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時，

取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減．

故當時，取最大值．因此，當且僅當即時，①式成立．

綜上所述，的取值集合為．

（Ⅱ）由題意知，

令則

令，則．

當時，單調遞減；當時，單調遞增．

故當，即

從而，又

所以

因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且．故當且僅當時， ．

綜上所述，存在使成立．且的取值范圍為 ．

考點：導數的運用

點評：主要是考查了導數在研究函數最值，以及函數的最值的運用，屬于難度題。