Question

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

Answer 1

解析：(1) ；
(2) 由方程組，消y得方程，
因為直線交橢圓于、兩點，
所以D>0，即，
設C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，CD中點坐標為(x₀,y₀)，
則，
由方程組，消y得方程(k₂-k₁)x=p，
又因為，所以，
故E為CD的中點；
(3) 求作點P₁、P₂的步驟：1°求出PQ的中點，
2°求出直線OE的斜率，
3°由知E為CD的中點，根據(2)可得CD的斜率，
4°從而得直線CD的方程：，
5°將直線CD與橢圓Γ的方程聯立，方程組的解即為點P₁、P₂的坐標．
欲使P₁、P₂存在，必須點E在橢圓內，
所以，化簡得，，
又0<q <p，即，所以，
故q 的取值范圍是．