Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2﹣x），當(dāng)x∈[﹣2，0）時(shí)，f（x）=﹣1，若在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)的關(guān)于x的方程f（x）﹣logg_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．

（，1）

B．

（1，4）

C．

（1，8）

D．

（8，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：

根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．

專題：

計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．

分析：

在同一直角坐標(biāo)系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)的圖象，結(jié)合題意可得到關(guān)于a的關(guān)系式，從而得到答案．

解答：

解：∵當(dāng)x∈[﹣2，0）時(shí)，f（x）=﹣1，

∴當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，﹣x∈[﹣2，0），

∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，

∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），

∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），

∴f（x）是以4為周期的函數(shù)，

∵在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)的關(guān)于x的方程f（x）﹣log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

令h（x）=log_a（x+2），即f（x）=h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)有有4個(gè)交點(diǎn)，

在同一直角坐標(biāo)系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)的圖象，

∴0＜log_a（6+2）＜1，

∴a＞8．

故選D．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，求得f（x）的解析式，作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區(qū)間（﹣2，6）內(nèi)的圖象是關(guān)鍵，考查作圖能力與數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．