Question

已知函數．
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性（須有證明過程）；
（3）求f（x）在區間（0，+∞）的單調性（須有證明過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數，可得 1+a=2，解得 a 的值．
（2）函數的定義域為{x|x≠1}，關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），可得函數是奇函數．
（3）設 0＜x₁＜x₂＜1，化簡f（x₁ ）-f（x₂）的解析式，可得f（x₁ ）-f（x₂）＞0，故f（x）在（0，1）上是減函數，同理可證f（x）在（1，+∞）上是增函數．
解答：解：（1）∵函數，∴1+a=2，解得 a=1．
（2）函數的定義域為{x|x≠1}，關于原點對稱，
且f（-x）==-（）=-f（x），故函數是奇函數．
（3）設 0＜x₁＜x₂＜1，由于
f（x₁ ）-f（x₂）=-（）=（x₁-x₂）+（）=（x₁-x₂） （1-），
由 0＜x₁＜x₂＜1可得 x₁-x₂＜0，（1-）＜0，故有f（x₁ ）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（0，1）上是減函數，
同理可得f（x）在（1，+∞）上是增函數．
點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷和證明，求函數的值，屬于中檔題．