Question

（本小題滿分14分）設函數f(x) = x2 + bln(x+1),

（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數b的值；

（2）若函數f(x)在定義域上是單調函數，求實數b的取值范圍；

（3）若b = -1,，證明對任意的正整數n，不等式都成立

 

Answer 1

【答案】

 

（1）b= - 4

（2）

（3）略

【解析】解：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定義域為( - 1，+ ∞),

對x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，

∴f(1)是函數f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,

解得b= - 4.……………………………………………………………………4分

（2）∵

又函數f(x)在定義域上是單調函數，

∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立。

若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,

即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥;

若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上沒有最小值，

∴不存在實數b使f(x) ≤0恒成立。

綜上所述，實數b的取值范圍是。………………………………8分

（3）當b= - 1時，函數f(x) = x2 - ln(x+1)

令函數h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，

則h/(x) = - 3x2 +2x - ，

∴當時，h/(x)＜0所以函數h(x)在上是單調遞減。

又h(0)=0，∴當時，恒有h(x) ＜h(0)=0,

即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.

故當時,有f(x) ＜x3..

∵

取則有

  ∴,

故結論成立。………………………………………………………………14分