Question

設數列{a_n}前n項和為S_n，已知a₁=a（a≠4），a_n+1=2S_n+4ⁿ（n∈N^*）
（Ⅰ）設b n=Sn-4n，求證：數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a_n（n∈N^*），求實數a取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，化簡利用等比數列的定義，可證數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）確定S_n，再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a_n（n∈N^*）成立，作差，構建函數，利用函數的單調性，即可求實數a取值范圍．

解答：（Ⅰ）證明：依題意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，
由此得Sn+1-4n+1=3（Sn-4n）即b_n+1=3b_n，…（2分）
∴數列{b_n}是公比為3的等比數列．         …（3分）
（Ⅱ）解：∵bn=Sn-4n=(a-4)•3n-1，
∴Sn=4n+(a-4)•3n-1，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-1+2（a-4）•3^n-2，…（6分）
n=1時，a₁=1
∴an=

3×4n-1+2(a-4)•3n-2 a，n=1

…（7分）
（Ⅲ）解：∵a_n+1=3×4ⁿ+2（a-4）•3^n-1，
∴a_n+1-a_n=4•3^n-2[9•(

4

3

)n-2+a-4]≥0
設f（n）=9•(

4

3

)n-2+a-4，則f（n）≥0，…（9分）
∵當n≥2時，f（n）是遞增數列，∴f（n）的最小值為f（2）=a+5…（10分）
∴當n≥2時a_n+1-a_n≥0恒成立，等價于a+5≥0，即a≥-5…（11分）
又a₂≥a₁等價于2a₁+4≥a₁，即a≥-4．…（13分）
綜上，所求的a的取值范圍是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．