Question

已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

（3）設第（2）問中的與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足,求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為。根據題意原點到直線的距離為，又因為可解得。（2）由題意知即點到直線，和到點的距離相等，根據橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點以直線為準線的拋物線。（3）由的方程為知設，根據得出的關系，用兩點間距離求，再用配方法求最值。

試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，，

即 ， 1分

又由題意知：， 2分

橢圓的方程為. 3分

（2）

動點到定直線的距離等于它到定點的距離 5分

動點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線， 6分

點的軌跡的方程為. 7分

（3）由（2）知：,設，

則， 8分

， 9分

由，左式可化簡為：， 10分

，

當且僅當，即時取等號， 11分

又，

當，即時，， 13分

故的取值范圍是. 14分

考點：1橢圓的標準方程；2拋物線的定義；3函數值域。