Question

如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B．已知|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比數列，|

F1B

|-

|F1F2

|=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可知

|OB|

和

|F1B|

，通過|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比數列推斷出a²=2bc，進而根據a，b和c的關系求得a和b的關系，利用

F1B•

F1F2

=2求得b，則a可求，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設出直線l的方程，和M，N的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用k₁•k₂=

3

2

求得b，進而可求得直線l與y軸相交的點．

解答：解：（Ⅰ）易知

|OB|

=b，

|F1B|

=a

|F1F2|

=2c，（其中c=

a2-b2

），則由題意知有a²=2bc．又∵a²+b²=c²，聯立得b=c．∴a=

2

b．
∵

F1B•

F1F2

=2，∴2cos45°=2．∴b²=1a²=1．
故橢圓C的方程為y2+

x2

2

=1．（4分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由

y2+ x2 2 =1 y=kx+b

?（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
∴x1+x2=-

4kb

1+2k2

，x1x2=

2b2-2

1+2k2

∵k1=

y1+1

x1

，k2=

y2+1

x2

．
∴k1k2=

(kx1+1+b)

x1

•

(kx2+1+b)

x2

=

kx1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b2)

x1x2

=

3

2

．
將韋達定理代入，并整理得

2k2(1+b)-4k2b+(1+2k2)(1+b)

b-1

=3，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合．考查了學生分析問題和解決問題的能力．