Question

已知函數f（x）=（x²+

3

2

）（x+a）（a∈R）
（1）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的范圍；
（2）若f′（-1）=0，（I）求函數f（x）的單調區間；（II）證明對任意的x₁、x₂∈（-1，0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜

5

16

恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）=（x²+

3

2

）（x+a）（a∈R）的導函數，函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即導函數為零時有實數解，再令方程的判別式大于或等于零即可得a的范圍
（2）先由f′（-1）=0求出a值；（I）令導函數大于零，解不等式可得函數的增區間，令導函數小于零，解不等式可得函數的減區間；（II）求函數f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，當這兩個值差的絕對值小于

5

16

，即證明了
x₁、x₂∈（-1，0）時，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜

5

16

恒成立

解答：解：∵f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a，∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

（1）∵函數f（x）的圖象有與x軸平行的切線，
∴f′（x）=0有實數解則△=4a2-4×3×

3

2

≥0，a2≥

9

2

，
所以a的取值范圍是(-∞，-

3

2

2

]∪[

3

2

2

，+∞)
（2）∵f′（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)
（Ⅰ）由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-

1

2

；
由f′(x)＜0得-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的單調遞增區間是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；
單調減區間為(-1，-

1

2

)
（Ⅱ）易知f（x）的最大值為f(-1)=

25

8

，
f（x）的極小值為f(-

1

2

)=

49

16

，又f(0)=

27

8

∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，
最小值m=

49

16

∴對任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16

點評：本題綜合考查了導數在研究函數性質中的應用，特別是在研究函數單調性和最值上的應用，解題時要透徹理解導數的幾何意義，規范在求單調區間及最值時的解題步驟