Question

如圖，已知二面角α-l-β的平面角為45°，在半平面α內有一個半圓O，其直徑AB在l上，M是這個半圓O上任一點（除A、B外），直線AM、BM與另一個半平面β所成的角分別為θ₁、θ₂．試證明cos²θ₁+cos²θ₂為定值．

Answer 1

分析：過M作MH⊥β，H為垂足，在α內，作MK⊥AB，K為垂足，連接KH，AH，BH，則∠MAH=θ₁，∠MBH=θ₂．說明∠MKH是二面角α-l-β的平面角．通過AM²=AK•AB，BM²=BK•AB，MK²=AK•BK，在Rt△MHA和Rt△MHB中，表示出sin²θ₁+sin²θ₂，即可求出所求表達式的值．

解答：證明：過M作MH⊥β，H為垂足，在α內，作MK⊥AB，K為垂足，連接KH，AH，BH，
則∠MAH=θ₁，∠MBH=θ₂．
∵MH⊥β，AB?β，
∴MH⊥AB．
∵MK∩MH=M，MK?平面MHK，MH?平面MHK，
∴AB⊥平面MHK．
∵HK?平面MHK，
∴AB⊥HK．
∴∠MKH是二面角α-l-β的平面角．
∴∠MKH=45°．
∴MH=

2

2

MK．
在Rt△AMB中，
AM²=AK•AB，BM²=BK•AB，MK²=AK•BK，
在Rt△MHA和Rt△MHB中，sinθ1=

MH

AM

，sinθ2=

MH

MB

．
∴sin²θ₁+sin²θ₂=

MH2

AM2

+

MH2

MB2

=

MK2

2AK•AB

+

MK2

2BK•AB

=

AK•BK

2AK•AB

+

AK•BK

2BK•AB

=

BK+AK

2AB

=

AB

2AB

=

1

2

．
∴cos²θ₁+cos²θ₂=2-（sin²θ₁+sin²θ₂）=2-

1

2

=

3

2

．（定值）．

點評：本題是中檔題，考查二面角的有關知識，直角三角形中射影定理的應用，考查空間想象能力，計算能力．