Question

（2009•淮安模擬）【選修4-2：矩陣與變換】
曲線x²+4xy+2y²=1在二階矩陣M=

1 a b 1

的作用下變換為曲線x²-2y²=1，
（1）求實數a，b的值；
（2）求M的逆矩陣M^-1．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y）為曲線x²-2y²=1上任意一點，P′（x′，y′）為曲線x²+4xy+2y²=1上與P對應的點，查找出兩點之間的關系，將（x，y）代入曲線x²-2y²=1應與曲線x²+4xy+2y²=1重合，建立等式，解之即可；
（2）先判斷|M|是否為0，然后根據逆矩陣求解公式直接解之即可．

解答：解：（1）設P（x，y）為曲線x²-2y²=1上任意一點，P′（x′，y′）為曲線x²+4xy+2y²=1上與P對應的點，則

1 a b 1

x′ y′

=

x y

，即

x=x′+ay′ y=bx′+y′

…（4分）
代入的（x′+ay′）²-2（bx′+y′）²=1得（1-2b²）x'²+（2a-4b）x'y'+（a²-2）y'²=1，
與曲線x²+4xy+2y²=1重合，從而

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，解得a=2，b=0，…（6分）
（2）因為M=

.

1 2 0 1

.

≠0，故M-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

=

1 -2 0 1

…（10分）

點評：本題主要考查的知識點是矩陣的變換，以及逆矩陣的求解，熟悉逆矩陣公式是解題的關鍵，屬于容易題．