Question

（2012•資陽三模）對某校高一年級的學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數，恨據此數據作出了右圖所示的頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖：

分組	頻數	頻率
[10，15）	6	0.3
[15，20）	8	N
[20，25）	M	P
[25，30）	2	0.1
合計	M	1

（I）求出表中M、p及圖中a的值；
（II）學校訣定對參加社區服務的學生進行表彰，對參加活動次數在[25，30]區間的每個學生發放價值80元的學習用品，對參加活動次數在[15，20）區間的每個學生發放價值40元的學習用品，對參加活動次數在[10，15）區間的每個學生發放價值20元的學習用品，在所抽取的這M名學生中，任意取出2人，設X為此二人所獲得學習用品價值之差的絕對值，求X的分布列與數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）根據頻率的定義列式并解之，可得M=20且n=0.4，再根據各組頻率之和等于1，算出p和m的值，最后根據直方圖的定義可得a的值；
（II）確定X的取值，求出相應的概率，可得X的分布列與數學期望E（X）．

解答：解：（Ⅰ）由題可知

6

M

=0.3，

8

M

=n，

m

M

=p，

2

M

=0.1，
又6+8+m+2=M，
解得M=20，n=0.4，m=4，p=0.2，
故[15，20）組的頻率與組距之比a為0.08．（4分）
（Ⅱ）可知X的值可能為0元、20元、40元、60元，（5分）
則P(0)=

C 2 6 + C 2 8 + C 2 4 + C 2 2

C 2 20

=

50

190

，P(20)=

C 1 6 C 1 8 + C 1 8 C 1 4 + C 1 4 C 1 2

C 2 20

=

88

190

，P(40)=

C 1 6 C 1 4 + C 1 8 C 1 2

C 2 20

=

40

190

，P(60)=

C 1 6 C 1 2

C 2 20

=

12

190

．（9分）
所以X的分布列為：

X	0	20	40	60
P	50 190	88 190	40 190	12 190

（10分）
E(X)=0×

50

190

+20×

88

190

+40×

40

190

+60×

12

190

=

408

19

．（12分）

點評：本題以頻率分布直方圖為載體，考查了頻率的定義、直方圖的含義，考查離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．