Question

某企業科研課題組計劃投資研發一種新產品，根據分析和預測，能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．企業擬制定方案對課題組進行獎勵，獎勵方案為：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金也不超過投資收益的20%，并用函數y=f（x）模擬這一獎勵方案．
（Ⅰ）試寫出模擬函數y=f（x）所滿足的條件；
（Ⅱ）試分析函數模型y=4lgx-3是否符合獎勵方案的要求？并說明你的理由．

Answer 1

分析：（I）根據已知中獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金也不超過投資收益的20%，我們易得到函數須要滿足的條件；
（II）分析函數y=4lgx-3的性質，并和（I）中的所得的條件進行比照，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意，模擬函數y=f（x）滿足的條件是：
（1）f（x）在[10，1000]上是增函數；
（2）f（x）≤9；（3）f（x）≤

1

5

x．（Ⅱ）對于y=4lgx-3，顯然它在[10，1000]上是增函數，滿足條件（1），
又當10≤x≤1000時，4lg10-3≤y≤4lg1000-3，即y∈[1，9]，從而滿足條件（2）
下面證明：f（x）≤

1

5

x，即4lgx-3≤

1

5

x對于x∈[10，1000]恒成立．
令g（x）=4lgx-3-

1

5

x（10≤x≤1000），則g′（x）=

4

xlg10

-

1

5

=

20lge-x

5x

∵e＜

10

，∴lge＜lg

10

=

1

2

∴20lge＜10
∴x≥10
∴20lge-x＜0，∴g′（x）＜0對于x∈[10，1000]恒成立．
∴g（x）在[10，1000]上是減函數
∴g（x）在[10，1000]時，g（x）≤g（10=4lg10-3-

1

5

×10=-1＜0，
即4lgx-3-

1

5

x≤0，即4lgx-3≤

1

5

x對于x∈[10，1000]恒成立．從而滿足條件（3）．
故函數模型y=4lgx-3符合獎勵方案的要求．

點評：本題考查的知識點是根據實際問題選擇函數的類型，其中分析實際問題，分析出函數滿足的條件是解答此類問題的關鍵．