Question

已知曲線C₁：y=

x2

e

+e（e為自然對數的底數），曲線C₂：y=2elnx和直線l：y=2x．
（1）求證：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點；
（2）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于M，N，P，記f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）設直線x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）與曲線C₁和C₂的交點分別為A_m和B_m，問是否存在正整數n，使得A₀B₀=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，請說明理由． （本小題參考數據e≈2.7）．

Answer 1

分析：（1）欲證明：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點，只須根據切線的斜率分別求出切點的坐標即可，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為2即可求出兩個切點坐標．從而問題解決．
（2）先利用線段的長度表示出函數f（t），再利用導數研究函數的單調性，求出f（t）的導數，根據f′（t）＞0求得的區間是單調增區間，最后求出最大值即可；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在正整數n，使得A₀B₀=A_nB_n，再設A_nB_n為g（n），利用導數研究函數g（n）的單調性，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）證明：y=

x2

e

+ey′=

2x

e

由y′=

2x

e

=2得x=e（2分）
在C₁上點（e，2e）處的切線為y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）
又在C₂上點（e，2e）處切線可計算得y-2e=2（x-e），即y=2x
∴直線l與C₁、C₂都相切，且切于同一點（e，2e）（4分）
（2）f(t)=

t2

e

+e-2t-(2t-2elnt)=

t2

e

+2elnt-4t+ef′(t)=

2t

e

+2e

1

t

-4=

2t2+2e2-4et

et

=

2(t-e)2

et

≥0（6分）
∴f（t）在[e^-3，e³]上遞增
∴當t=e³時f(t)max=

e6

e

+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e（8分）
（3）AnBn=

(en)2

e

+e-2elnen=

(e2)n

e

+e-2ne
設上式為g（n），假設n取正實數，則g′(n)=

(e2)n

e

•lne2-2e=

2(e2n-e2)

e

當n∈（0，1）時，g′（n）＜0，∴g（n）遞減；
當n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）遞增．（12分）
g(0)=A0B0=e+

1

e

g（1）=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e＞2e＞e+

1

e

∴不存在正整數n，使得g（m）=g（0）
即A_nB_n=A₀B₀．（14分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、利用導數求閉區間上函數的最值、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．