Question

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

3

2

，且過P（

6

，

2

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知直線l過點M（-

1

2

，0），且與開口朝上，頂點在原點的拋物線C切于第二象限的一點N，直  線l與橢圓E交于A，B兩點，與y軸交與D點，若

AB

=λ

AN

，

BD

=μ

BN

，且λ+μ=

5

2

，求拋物線C的標準方程．

Answer 1

分析：（1）利用離心率計算公式、點在橢圓上及a，b，c的關系可得

e= c a = 3 2 ( 6 )2 a2 + ( 2 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）設拋物線C的方程為y=ax²（a＞0），直線與拋物線C切點為(x0，a

x

2 0

)．利用導數的幾何意義可得切線的斜率，進而得到切線方程，即可得到切點N，進一步簡化切線方程，把直線l的方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，再利用已知向量關系式

AB

=λ

AN

，

BD

=μ

BN

，且λ+μ=

5

2

，即可得到a及拋物線C的標準方程．

解答：解．（1）由題意可得

e= c a = 3 2 ( 6 )2 a2 + ( 2 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=8 b2=2 c2=6

，
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）設拋物線C的方程為y=ax²（a＞0），
直線與拋物線C切點為(x0，a

x

2 0

)．
∵y′=2ax，∴切線l的斜率為2ax₀，
∴切線方程為y-a

x

2 0

=2ax0(x-x0)，
∵直線l過點M(-

1

2

，0)，∴-a

x

2 0

=2ax0(-

1

2

-x0)，
∵點N在第二象限，∴x₀＜0，
解得x₀=-1．∴N（-1，a）．
∴直線l的方程為y=-2ax-a．
代入橢圓方程并整理得：代入橢圓方程整理為（1+16a²）x²+16a²x+4a²-8=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x1+x2=

-16a2

1+16a2

，x1x2=

4a2-8

1+16a2

．
由

AD

=λ

AN

，

BD

=μ

BN

，
∴λ=

x1

1+x1

，μ=

x2

1+x2

．
∴λ+μ=

x1

1+x1

+

x2

1+x2

=

2x1x2+x1+x2

1+x1+x2+x1x2

=

8a2+16

7-4a2

．
∵λ+μ=

5

2

，∴

8a2+16

7-4a2

=

5

2

，又a＞0，解得a=

3

6

．
∴拋物線C的標準方程為y=

3

6

x2，其標準方程為x2=2

3

y．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為根與系數的關系、直線與拋物線相切問題、導數的幾何意義、向量的運算等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．