Question

21.已知m，n為正整數(shù).

（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：當x＞-1時，(1+x)^m≥1+mx；

（Ⅱ）對于n≥6，已知，求證，m=1,2…，n；

（Ⅲ）求出滿足等式3ⁿ+4ⁿ+…+(n+2)ⁿ=(n+3)ⁿ的所有正整數(shù)n.

Answer 1

本小題主要考查數(shù)學歸納法、數(shù)列求和，不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力。

解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學歸納法證明：

（ⅰ）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊，

因為，所以左邊右邊，原不等式成立；

（ⅱ）假設當時，不等式成立，即，則當時，

，，于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以.即當時，不等式也成立.

綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對一切正整數(shù)，不等式都成立.

（Ⅱ）證：當時，由（Ⅰ）得，

于是，.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當時，

，

.

即.即當時，不存在滿足該等式的正整數(shù).

故只需要討論的情形：

當時，，等式不成立；

當時，，等式成立；

當時，，等式成立；

當時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；

當時，同的情形可分析出，等式不成立.

綜上，所求的只有.

解法2：（Ⅰ）證：當或時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學歸納法證明：

當，且時，，.　　           ①

（ⅰ）當時，左邊，右邊，因為，所以，即左邊右邊，不等式①成立；

（ⅱ）假設當時，不等式①成立，即，則當時，

因為，所以.又因為，所以.

于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以.即當時，不等式①也成立.

綜上所述，所證不等式成立.

（Ⅱ）證：當，時，，，

而由（Ⅰ），，

.

（Ⅲ）解：假設存在正整數(shù)使等式成立，

即有.　　　　　②

又由（Ⅱ）可得

，與②式矛盾.

故當時，不存在滿足該等式的正整數(shù).

下同解法1.