Question

溫州某私營公司生產一種產品，根據歷年的情況可知，生產該產品每天的固定成本為14000元，每生產一件該產品，成本增加210元．已知該產品的日銷售量f（x）與產量x之間的關系式為，每件產品的售價g（x）與產量x之間的關系式為．
（Ⅰ）寫出該公司的日銷售利潤Q（x）與產量x之間的關系式；
（Ⅱ）若要使得日銷售利潤最大，每天該生產多少件產品，并求出最大利潤．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出總成本c（x）的函數，然后根據日銷售利潤Q（x）=f（x）g（x）-c（x）求出所求；
（II）討論x的范圍，然后利用導數研究函數的最值，分別求出最值，從而求出整個函數的最值，從而得到結論．
解答：解：（Ⅰ）總成本為c（x）=14000+210x．（1分）
所以日銷售利潤Q（x）=f（x）g（x）-c（x）=．（5分）
（Ⅱ）①當0≤x≤400時，．
令Q′（x）=0，解得x=100或x=700．
于是Q（x）在區間[0，100]上單調遞減，在區間[100，400]上單調遞增，
所以Q（x）在x=400時取到最大值，且最大值為30000；（8分）
②當x＞400時，Q（x）=-210x+114000＜30000．
綜上所述，若要使得日銷售利潤最大，每天該生產400件產品，其最大利潤為30000元．（10分）
點評：本題考查了分段函數，以及函數與方程的思想，屬于基礎題．函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．