Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)f(x)＝k(x－2)＋3的圖象為直線l，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，探究正實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；僅有兩條；僅有三條；僅有四條.

Answer 1

顯然直線f(x)＝k(x－2)＋3與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2－，0)，B(0,3－2k)；

當(dāng)k＜0時(shí)，△AOB的面積為(2－)(3－2k)，依題意得，(2－)(3－2k)＝m，

即4k²－(12－2m)k＋9＝0.

又因?yàn)棣ぃ絒－(12－2m)]²－4×4×9，且m＞0，所以，m＝12時(shí)，k值唯一，此時(shí)直線l唯一；m＞12時(shí)，k值為兩個(gè)負(fù)值，此時(shí)直線l有兩條；

當(dāng)k＞0時(shí)，△AOB的面積為－(2－)(3－2k)，依題意得，－(2－)(3－2k)＝m，即

4k²－(12＋2m)k＋9＝0，

又因?yàn)棣ぃ絒－(12＋2m)]²－4×4×9＝4m²＋48m，

且m＞0，所以Δ＞0，對(duì)于任意的m＞0，方程總有兩個(gè)不同的解且都大于零，此時(shí)有兩條直線；

綜上可知：不存在正實(shí)數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；當(dāng)0＜m＜12時(shí)，直線l有兩條；當(dāng)m＝12時(shí)，直線l有三條；當(dāng)m＞12時(shí)，直線l有四條.