Question

已知函數y=f（x）滿足方程f（x）+（x-3）f（1）=x³+x-4（x∈R）．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函數y=f（x）在區間[-1，m]上的值域為[2-

2 3

9

，2+

2 3

9

]，試確定m的取值范圍；
（III）記g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2，若g'（x）的兩個零點x₁，x₂滿足x₁≠x₂，且x₁，x₂∈[-1，2]，求b+2c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）令x=1，求出f（1）的值，然后代入，即可求出函數的解析式；
（II）先利用導數研究函數的單調性，然后結合圖形可知由f（x）=2+

2 3

9

，解得x的值即可求出m的范圍；
（III）根據g′（x）=0在[-1，2]上有兩個不等的實根，建立a、b的約束關系，畫出區域，根據線性規劃的知識可求出b+2c的取值范圍．

解答：解：（I）令x=1得f（1）-2f（1）=-2
解得f（1）=2
∴f（x）=x³-x+2
（II）f′（x）=3x²-1，由f′（x）＞0
解得x＞

3

3

或x＜-

3

3

由f′（x）＞0
解得-

3

3

＜x＜

3

3

∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是增函數，
在（-

3

3

，

3

3

）上是減函數
f（x）極大值為f（-

3

3

）=2+

2 3

9

f（x）極小值為f（

3

3

）=2-

2 3

9

由f（x）=2+

2 3

9

，解得x=-

3

3

或x=

2 3

3

∴m的取值范圍是[-

3

3

，

2 3

3

]
（III）g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2=x³-bx²+2cx
g′（x）=3x²-2bx+2c
依題意g′（x）=0在[-1，2]上有兩個不等的實根
∴

△=4b2-4•3•2c＞0 -1＜- -2b 2×3 ＜2 g′(-1)≥0 g′(2)≥0

畫出（b、c）的可行域
b+2c∈[-

9

2

，18）

點評：本題主要考查了函數的解析式以及利用導數研究函數的單調性和極值，同時考查了利用線性規劃求取值范圍，屬于中檔題．