Question

設拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線的兩條切線交于點C，則有（　　）

• A、

  AC

  ?

  BC

  =0
• B、

  AC

  ?

  BC

  ＞0
• C、

  AC

  ?

  BC

  ＜0
• D、

  AC

  ?

  BC

  ≠0

Answer 1

分析：設出過點F的直線方程，和拋物線方程聯立后由根與系數關系得到兩交點的橫縱坐標的和與積，把拋物線所對應的函數求導后得到A，B兩點處的切線的斜率，由點斜式得到過A，B兩點的切線方程，由兩切線方程聯立求得C點的坐標，代入

AC

•

BC

可得結論．

解答：解：∵F（0，

p

2

），又依題意直線l不與x軸垂直，∴設直線l的方程為y=kx+

p

2

．
由

y=kx+ p 2 x2=2py

，可得x²-2pkx-p²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．
y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，
y₁y₂=（kx₁+

p

2

）（kx₂+

p

2

）=k²x₁x₂+

kp

2

（x₁+x₂）+

p2

4

=-k²p²+k²p²+

p2

4

=

p2

4

．
由x²=2py，可得y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

．
∴拋物線在A，B兩點處的切線的斜率分別為

x1

p

，

x2

p

．
∴在點A處的切線方程為y-y₁=

x1

p

（x-x₁），
即y=

x1

p

x-

x12

2p

．
同理在點B處的切線方程為y=

x2

p

x-

x22

2p

．
解方程組

y= x1 p x- x12 2p y= x2 p x- x22 2p

，可得

x=pk y=- p 2

．
∴點C的坐標為(pk，-

p

2

)．
∴

AC

•

BC

=(pk-x1，-

p

2

-y1)•(pk-x2，-

p

2

-y2)
=p2k2-pk(x1+x2)+x1x2+

p2

4

+

p

2

(y1+y2)+y1y2
=p2k2-pk•2pk-p2+

p2

4

+

p

2

•(2pk2+p)+

p2

4

=0．
故選：A．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量的數量積運算，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常采用聯立方程組，化為關于x的方程后利用一元二次方程根與系數的關系解決，是有一定難度題目．