Question

已知三個正整數2a，1，a²+3按某種順序排列成等差數列．
（1）求a的值；
（2）若等差數列{a_n}的首項、公差都為a，等比數列{b_n}的首項、公比也都為a，前n項和分別為S_n，T_n，且

Tn+2

2n

＞S_n-130，求滿足條件的正整數n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用2a，a²+3是正整數，可得a是正整數，利用基本不等式可得a²+3＞2a＞1，因此可得2a是a²+3與1的等差中項，即可得出；．
（2）利用a=2和等差數列、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）∵2a，a²+3是正整數，∴a是正整數，
∵a²+3＞2a＞1，
∴2×2a=a²+3+1，解得a=2．
（2）∵a=2，∴Sn=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n；
T_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2，
∵

Tn+2

2n

＞S_n-130，∴

2n+1-2+2

2n

＞n²+n-130，
化為n²+n-132＜0，∴-12＜n＜11，
∵n是正整數，∴n的最大值是10．

點評：熟練掌握等差數列、等比數列的前n項和公式及其通項公式是解題的關鍵．