Question

已知，函數.
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當有兩個極值點（設為和）時，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數的導函數，確定導數的符號，實質上就是確定分子的正負，從而確定函數在定義域上的單調性，即對分子的的符號進行分類討論，從而確定的符號情況，進而確定函數在定義域上的單調性；（2）根據、與之間的關系，結合韋達定理得出以及的表達式，代入所證的不等式中，利用分析法將所要證的不等式轉化為證明不等式，利用作差法，構造新函數，利用導數圍繞來證明.
試題解析：（1），
，考慮分子
當，即時，在上，恒成立，此時在上單調遞增；
當，即時，方程有兩個解不相等的實數根：，，顯然，
當或時，；當時，；
函數在上單調遞減，
在和上單調遞增.
（2）、是的兩個極值點，故滿足方程，
即、是的兩個解，，

而在中，，
因此，要證明，
等價于證明，
注意到，只需證明，即證，
令，則，
當時，，函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減；
因此，從而，即，原不等式得證.