Question

已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x²＋y²－10x＋20＝0相切．過點P(－4，0)作斜率為的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足|PA|·|PB|＝|PC|²．

(1)求雙曲線G的漸近線的方程；

(2)求雙曲線G的方程；

(3)橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分AB，若P(x，y)(y＞0)為橢圓上一點，求當△ABP的面積最大時點P的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx，

　　則由漸近線與圓x²＋y²－10x＋20＝0相切可得＝，

　　所以k＝±，即雙曲線G的漸近線的方程為y＝±x．　3分

　　(2)由(1)可設雙曲線G的方程為x²－4y²＝m，

　　把直線的方程y＝(x＋4)代入雙曲線方程，

　　整理得3x²－8x－16－4m＝0，

　　則x_A＋x_B＝，x_Ax_B＝－．(*)

　　∵|PA|·|PB|＝|PC|²，P、A、B、C共線且P在線段AB上，

　　∴(x_P－x_A)(x_B－x_P)＝(x_P－x_C)²，即(x_B＋4)(－4－x_A)＝16，

　　整理得4(x_A＋x_B)＋x_Ax_B＋32＝0．將(*)代入上式得m＝28，

　　∴雙曲線的方程為－＝1．　7分

　　(3)由題可設橢圓S的方程為＋＝1(a＞2)，

　　設垂直于l的平行弦的兩端點分別為M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中點為P(x₀，y₀)，

　　則＋＝1，＋＝1，

　　兩式作差得＋＝0．

　　由于＝－4，x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀，所以－＝0，

　　所以，垂直于的平行弦中點的軌跡為直線－＝0截在橢圓S內的部分．

　　又由已知，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，所以＝，即a²＝56，

　　故橢圓S的方程為＋＝1．　11分

　　由題意知滿足條件的P點必為平行于AB且與橢圓相切的直線m在橢圓上的切點，易得切線m的方程為，解得切點坐標，則P點的坐標為　13分