Question

已知函數f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．
（Ⅰ）設a＞0，b=

5

3

，求證：f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．結合a＞0，b=

5

3

，我們可以求出f(

π

6

)的表達式，然后利用基本不等式即可求出f(

π

6

)的值的范圍，進而得到答案；
（II）將b=-2代入，我們可利用換元法，結合二次函數在定區間上的值域，及f（x）的最大值大于6構造一個關于a的不等式，分類討論后，即可得到滿足條件的a的取值范圍；
（III）當t=sinx，利用換元法，我們可以將若存在x∈R，f（x）≤0，轉化為存在實數使一個關于t的二次不等式成立，利用對應的二次函數的性質，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b=

5

3

∴f(

π

6

)=sin2

π

6

+asin

π

6

+

a2+ 5 3 -1

a

=

3a

2

+

2

3a

+

1

4

≥2

3a 2 * 2 3a

+

1

4

=

9

4

即f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

，設t=sinx，令g(t)=t2+at+a-

3

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

(-1≤t≤1)
當-

a

2

＜0時，h(a)=g(1)；當-

a

2

＞0時，h(a)=g(-1)；

h(a)=

1+2a- 3 a (a＞0) 1- 3 a (a＜0)

解得a的取值范圍是(-

3

5

，0)∪(3，+∞)
（Ⅲ）設t=sinx，令?(t)=t2+at+a+

b-1

a

，
∴φ(t)的圖象的對稱軸t=-

a

2

≤-1，
設t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+

b-1

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a+

b-1

a

(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，一元二次不等式的解法，其中利用換元法將已知中的函數及不等式轉化為我們熟悉的二次函數及二次不等式是解答本題的關鍵．