Question

沿海地區某農村在2002年底共有人口1480人，全年工農業生產總值為3180萬元．從2003年起計劃10年內該村的總產值每年增加60萬元，人口每年凈增a人，設從2003年起的第x年（2003年為第一年）該村人均產值為y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）為使該村的人均產值年年都有增長，那么該村每年人口的凈增不能超過多少人？

Answer 1

（1）依題意得第x年該村的工農業生產總值為（3180+60x）萬元，
而該村第x年的人口總數為（1480+ax）人，
∴y=

3180+60x

1480+ax

（1≤x≤10）．
（2）解法一：為使該村的人均產值年年都有增長，則在1≤x≤10內，y=f（x）為增函數．
設1≤x₁＜x₂≤10，則
f（x₁）-f（x₂）=

3180+60x1

1480+ax1

-

3180+60x2

1480+ax2

=

60×1480(x1-x2)+3180a(x2-x1)

(1480+ax1)(1480+ax2)

=

(88800-3180a)(x1-x2)

(1480+ax1)(1480+ax2)

．
∵1≤x₁＜x₂≤10，a＞0，
∴由f（x₁）＜f（x₂），得88800-3180a＞0．
∴a＜

88800

3180

≈27.9．又∵a∈N^*，∴a=27．
解法二：∵y=

60

a

（

53+x

1480 a +x

）
=

60

a

[1+

53- 1480 a

x+ 1480 a

]，
依題意得53-

1480

a

＜0，∴a＜

1480

53

≈27.9．
∵a∈N^*，∴a=27．
答：該村每年人口的凈增不能超過27人．