Question

（2013•朝陽區一模）已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率為1，求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數f（x）求導，根據導數的幾何意義可求f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線斜率k，結合已知可求a
（II）先求函數f（x）的定義域為（0，+∞），要判斷函數的單調區間，需要判斷導數f′（x）的正負，分類討論：分（1）當a≥0時，（2）當0＜a＜2時，（3）當a=2時，（4）當a＞2時四種情況分別求解．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx，可知，函數定義域為{x|x＞0}，
且f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

．由題意，f′（2）=4-（a+2）+

a

2

=1，
解得a=2．…（4分）
（Ⅱ）f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

（x＞0）．
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=

a

2

．
（1）當a≤0時，

a

2

≤0，令f′（x）＞0，得x＞1；
令f′（x）＜0，得0＜x＜1．
則函數f（x）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）．
（2）當0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時，令f′（x）＞0，得0＜x＜

a

2

或x＞1．
則函數f（x）的單調遞增區間為（0，

a

2

），（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得

a

2

＜x＜1．
則函數f（x）的單調遞減區間為（

a

2

，1）．
（3）當

a

2

=1，即a=2時，f′（x）≥0恒成立，則函數
f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）．
（4）當

a

2

＞1，即a＞2時，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞

a

2

，
則函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），（

a

2

，+∞）．
令f′（x）＜0，得1＜x＜

a

2

．
則函數f（x）的單調遞減區間為（1，

a

2

）．…（13分）

點評：本題主要考查了函數的導數的求解，利用導數判斷函數的單調區間，體現了分類討論思想的應用．