Question

（理）若sinα+sinβ=

1

2

，cosα+cosβ=

1

3

，則tan

α+β

2

=

3

4

或-

4

3

．

．

Answer 1

分析：通過(guò)已知條件求出cos（α-β），cos（α+β）推出tαn（α+β），利用二倍角公式求出tan

α+β

2

的值．

解答：解：sinα+sinβ=

1

2

①，
cosα+cosβ=

1

3

②，
①²+②²得 sin²α+sin²β+cos²α+cos²β+2sinαsinβ+2cosαcosβ=

25

144

，
即2+2cos（α-β）=

25

144

，∴cos（α-β）=

25

288

-1=-

263

288

，
①²-②²得-sin²α-sin²β+cos²α+cos²β-2sinαsinβ+2cosαcosβ=

7

144

，
即cos2α+cos2β+2cos（α+β）=

7

144

，
和差化積公式 cos2α+cos2β=2cos（α+β）cos（α-β）=-

263

144

cos（α+β），
∴2cos（α+β）-

263

144

cos（α+β）=

25

144

cos（α+β）=

7

144

，∴cos（α+β）=

7

25

∴sin（α+β）=

24

25

∴tαn（α+β）=

24

7

；
所以tαn（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

24

7

．
解得：tan

α+β

2

=

3

4

或-

4

3

．
故答案為：

3

4

或-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．