Question

（08年廣東佛山質檢理）拋物線的準線的方程為，該拋物線上的每個點到準線的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線 相切的圓，

（Ⅰ）求定點N的坐標；

（Ⅱ）是否存在一條直線同時滿足下列條件：

① 分別與直線交于A、B兩點，且AB中點為；

② 被圓N截得的弦長為．

Answer 1

解析:（1）因為拋物線的準線的方程為

所以，根據拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，             -----------2分

所以定點N的坐標為                              ----------------------------3分

（2）假設存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在，                -----------4分

設的方程為，                   ------------------------5分

以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為， ----6分

方法1：因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，   -------7分

即，解得，                -------------------------------8分

當時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾！            --------------9分

當時，的方程為               ----------------------------10分

由，解得點A坐標為，               ------------------11分

由，解得點B坐標為，          ------------------12分

顯然AB中點不是，矛盾！                ----------------------------------13分

所以不存在滿足條件的直線．                 ------------------------------------14分

方法2：由，解得點A坐標為，      ------7分

由，解得點B坐標為，        ------------8分

因為AB中點為，所以，解得，     ---------10分

所以的方程為，

圓心N到直線的距離，                   -------------------------------11分

因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！   ----13分

所以不存在滿足條件的直線．               -------------------------------------14分

方法3：假設A點的坐標為，

因為AB中點為，所以B點的坐標為，         -------------8分

又點B 在直線上，所以，                ----------------------------9分

所以A點的坐標為，直線的斜率為4，

所以的方程為，                    -----------------------------10分

圓心N到直線的距離，                     -----------------------------11分

因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！ ---------13分

所以不存在滿足條件的直線．              ----------------------------------------14分