Question

已知橢圓上兩個相鄰頂點為A、C，又B、D為橢圓上的兩個動點，且B、D分別在直線AC的兩旁，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：將橢圓的參數方程化成標準方程：，作出它的圖形，再設A（0，5），C（4，0），B、D為橢圓上位于AC的兩側的兩點．將四邊形ABCD分解，得它的面積S=S_△ACD+S_△ACB，從而得出ABCD面積S=AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分別為點B、D到AC的距離．因此，當平行于AC的直線l₁與橢圓相切于點B，平行于AC的直線l₂與橢圓相切于點D時，四邊形面積達到最大值．然后設點B坐標和直線l₁的方程，通過聯解方程組，可得點B（2，），點D（-2，-）．最后求出直線AC的方程5x+4y-20=0，利用點到直線的距離公式和三角形面積公式，可求出四邊形ABCD面積的最大值．
解答：解：將橢圓化成標準方程，得，作出它的圖形如右圖
設A（0，5），C（4，0），B、D為橢圓上兩點，且位于AC的兩側
則四邊形ABCD的面積S=S_△ACD+S_△ACB，而S_△ACB=AC•h₁，S_△ACD=AC•h₂
∴四邊形ABCD的面積S=AC•h₁+AC•h₂=AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分別為點B、D到AC的距離
因此，當平行于AC的直線l₁與橢圓相切于點B時，h₁達到最大值；當平行于AC的直線l₂與橢圓相切于點D時，h₂達到最大值．
設點B（x₁，y₁），得直線l₁的方程為：
∵，
∴，可得點B（2，）
∵直線AC的方程為y=-x+5，即5x+4y-20=0，
∴點B到AC的距離為：=，即h₁的最大值為
同理，可得點D（-2，-），D到AC的距離為，即h₂的最大值為，
∴四邊形ABCD的面積S的最大值為AC[+]=××=
點評：本題給出橢圓的參數方程，以上頂點和右頂點的連線為對角線，得橢圓的內接四邊形并求此四邊形面積的最大值，著重考查了橢圓的參數方程、直線與橢圓的位置關系等知識點，屬于難題．