Question

（2009•長寧區二模）設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是

i

、

j

，坐標平面上點列A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：①

OA1

=

j

且

AnAn+1

=

i

+

j

；②

OB1

=3

i

且

BnBn+1

=(

2

3

)n×3

i

．
（1）求

OA2

及

OA3

的坐標，并證明點A_n在直線y=x+1上；
（2）若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數M，對一切n∈N^*都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據向量的加法的幾何意義，再結合坐標運算的法則，可得

OA2

及

OA3

的坐標，因而再結合已知條件，可得

OA n

=

OA 1

+

A 1A 2

+…+

A n-1A n

，代入坐標可得A_n（n-1，n），它滿足直線方程y=x+1；
（2）用類似于（1）的方法，結合已知條件用等比數列求和公式，得：

OB n

=(9-9×(

2

3

) n，0)，代入四邊形
A_nB_nB_n+1A_n+1的面積，進而得到a_n的通項公式為a_n=5+（n-2）×(

2

3

) n-1；
（3）通過作差，得an-an+1= 

n-4

3

×(

2

3

)n-1，再通過討論得到這個差在n=4時為0，而n＜4時為正，n＞4時為負，從而得到a₄=a₅為的最大項，因此不難求出存在最小的自然數M=6，對一切n∈N*都有a_n＜M成立．

解答：解：（1）

OA2

=

OA1

+

A1A2

=

j

+(

i

+

j

)=

i

+2

j

=(1，2)，

OA2

+

A2A3

=

i

+2

j

+(

i

+

j

)=2

i

+3

j

=(2，3)

OA n

=

OA 1

+

A 1A 2

+…+

A n-1A n

=

j

+(n-1)(

i

+ 

j

) =(n-1)

i

+n

j

=（n-1，n）
所以A_n（n-1，n），它滿足直線方程y=x+1，因此點A_n在直線y=x+1上．
（2）

OB n

=

OB 1

+

B 1B 2

+…+

B n-1B n

=3

i

+

2

3

×3

i

+ (

2

3

) 2×3

i

+…+(

2

3

) n-1×3

i

=

1-( 2 3 ) n

1- 2 3

×3

i

=(9-9×(

2

3

) n，0)．
設直線y=x+1交x軸于P（-1，0），
則an=S △PA n+1B n+1-S △PA nB n
=

1

2

[10-9×(

2

3

) n+1]×（n+1）-

1

2

[10-9×(

2

3

) n]×n
=5+（n-2）×(

2

3

) n-1
（3）an-an+1=[5+(n-2)×(

2

3

)n-1]-[5+(n-1)(

2

3

)n]=(

2

3

)n-1[(n-2)-(n-1)×(

2

3

)]=

n-4

3

×(

2

3

)n-1
所以a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0，a₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，…等
即在數列{a_n}中，a4=a5=5+

16

27

是數列的最大項，
所以存在最小的自然數M=6，對一切n∈N*都有a_n＜M成立．

點評：本題考查了平面向量與數列的綜合，是一道難題．對于等比數列的通項和求和公式的掌握，數列單調性的充公理解，是解決本題的關鍵．