Question

為了適應新課改的要求，某重點高中在高一500名新生中開設選修課．其中某老師開設的《趣味數學》選修課，在選課時設第n次選修人數為a_n個，且第n（n≥2）次選課時，選《趣味數學》的同學人數比第n-1次選修人數的一半還多15人．
（1）當a₁≠30時，寫出數列{a_n}的一個遞推公式，并證明數列{a_n-30}是一個等比數列；
（2）求出用a₁和n表示的數列{a_n}的通項公式．如果選《趣味數學》的學生越來越多，求a₁的取值范圍．

Answer 1

（1）依題意，有an=

1

2

an-1+15，（其中n≥2）；
∴an-30=

1

2

(an-1-30)，
又a₁≠30，即a₁-30≠0，
故{a_n-30}是一個以（a₁-30）為首項，

1

2

為公比的等比數列．
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(

1

2

)n-1；
∴an=30+(a1-30)•(

1

2

)n-1，
又an-an-1=(a1-30)[(

1

2

)n-1-(

1

2

)n-2]=(30-a1)•(

1

2

)n-1＞0．
∴a₁的取值范圍是：0≤a₁＜30．