Question

已知cosα=-

3

10

10

，tanβ=-

1

2

，

π

2

＜α＜π.

π

2

＜β＜π
（1）求cos2α，sin (α-

5π

6

)的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）由cosα=-

3

10

10

，

π

2

＜α＜π，可求得sinα，利用二倍角的余弦與兩角差的正弦即可分別求得cos2α，sin (α-

5π

6

)的值；
（2）依題意，可求得tanα=-

1

3

，結合已知tanβ=-

1

2

，可求得tan（α+β）=-1，再結合

π

2

＜α＜π.

π

2

＜β＜π，可求得α+β的范圍，從而可得α+β的值．

解答：解：（1）∵cosα=-

3

10

10

，

π

2

＜α＜π，
∴sinα=

1

10

，…（2分）
∴cos2α=2cos²α-1=2×

9

10

-1=

4

5

．…（4分）
∴sin（α-

5π

6

）=sinαcos

5π

6

-cosαsin

5π

6

=

1

10

•（-

3

2

）-（-

3

10

）•

1

2

=

3 10 - 30

20

…（7分）
（2）由條件得，tanα=-

1

3

，…（9分）
而tanβ=-

1

2

，
∴tan（α+β）=

- 1 3 +(- 1 2 )

1-(- 1 3 )•(- 1 2 )

=-1，…（11分）
又∵

π

2

＜α＜π.

π

2

＜β＜π，
∴π＜α+β＜2π，
∴α=β=

7π

4

…（14分）
（注：不交待范圍，直接得到結果的，扣2分）

點評：本題考查兩角和與差的正切函數，考查二倍角的余弦與兩角差的正弦，屬于中檔題．