Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+x+b（a≥0），f′（x）為函數f（x）的導函數．
（Ⅰ）設函數f（x）的圖象與x軸交點為A，曲線y=f（x）在A點處的切線方程是y=3x-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數g（x）=e^-ax•f′（x），求函數g（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）根據曲線y=f（x）在A點處的切線方程是y=3x-3，建立關于a和b的方程組，解之即可；
（II）先求出函數g（x）的解析式，然后討論a的正負，利用導數的符號研究函數的單調性，根據fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出函數g（x）的單調區間即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+x+b（a≥0），
∴f'（x）=x²+ax+1．（1分）
∵f（x）在（1，0）處切線方程為y=3x-3，
∴

f′(1)=3 f(1)=0

，（3分）
∴a=1，b=-

11

6

．（各1分）（5分）
（Ⅱ）g（x）=e^-ax•f′（x）=

x2+ax+1

eax

，x∈R．
g'（x）=-x[ax+（a²-2）e^-ax]．（7分）
①當a=0時，g'（x）=2x，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	減函數	極小值	增函數

g（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間（-∞，0）．（9分）
②當a＞0時，令g'（x）=0，得x=0或x=

2

a

-a（10分）
（ⅰ）當

2

a

-a＞0，即0＜a＜

2

時，

x	（-∞，0）	0	（0， 2 a -a）	2 a -a	（ 2 a -a，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	減函數	極小值	增函數	極大值	減函數

g（x）的單調遞增區間為（0，

2

a

-a），單調遞減區間（-∞，0），（-

2

a

-a，+∞）；（11分）
（ⅱ）當

2

a

-a=0，即a=

2

時，g'（x）=-2x²e^-2x≤0，
故g（x）在（-∞，+∞）單調遞減；（12分）
（ⅲ）當

2

a

-a＜0，即a＞

2

時，

x	（-∞， 2 a -a）	2 a -a	（ 2 a -a，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	減函數	極小值	增函數	極大值	減函數

g（x）在（

2

a

-a，0）上單調遞增，在（0，+∞），（-∞，

2

a

-a）上單調遞（13分）
綜上所述，當a=0時，g（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間（-∞，0）；
當0＜a＜

2

時，g（x）的單調遞增區間為（0，

2

a

-a），單調遞減區間為（-∞，0），
當a=

2

時，g（x）的單調遞減區間為（-∞，+∞）；
當a＞

2

時，g（x）的單調遞增區間為（

2

a

-a，0），單調遞減區間為（0，+∞），（-∞，

2

a

-a）．（“綜上所述”要求一定要寫出來）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查分類討論的思想，計算能力，屬于中檔題．