Question

(09年山東省實驗中學綜合測試理)（本小題滿分13分）已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．

   （1）求橢圓的方程；

   （2）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一

        個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，

        請說明理由．

Answer 1

解析：（1）由

    因直線相切，

    ，

    ∵圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角

    形，∴

    故所求橢圓方程為 

  （2）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：        

    當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：  

    由

    即兩圓相切于點（0，1）

    因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）

    事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下．

    當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

    若直線L不垂直于x軸，可設直線L：

    由

    記點、 

   

     

   

    所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）

    所以在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．