Question

已知函數(shù)滿足，且 在上恒成立.

(1)求的值；

(2)若,解不等式；

(3)是否存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上有最小值？若存在，請求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）當，，當；（3）當時，在上有最小值－5.

【解析】

試題分析：本題考查計算能力和分類討論的數(shù)學思想.（1）求函數(shù)的導數(shù)，由二次函數(shù)知識求恒成立問題；（2）求導，化為時，對b的值分類討論，分別求解；（3）對函數(shù)求導后，其導函數(shù)是一個二次函數(shù)，根據(jù)對軸稱與區(qū)間的關系來分類討論.

試題解析：（1）；

恒成立；

即恒成立；

顯然時，上式不能恒成立；

∴，由于對一切則有：

，即，解得：；

∴，.

（2）  

由得：；

即，即 ；

∴當，

，

當.

（3）假設存在實數(shù)使函數(shù)在區(qū)間 上有最小值－5.

圖象開口向上且對稱軸為

①當，此時函數(shù)在區(qū)間上是遞增的；

解得與矛盾；

②當，此時函數(shù)在區(qū)間上是遞減的，而在區(qū)間上是遞增的，

即

解得；

.

③當，此時函數(shù)在區(qū)間上遞減的；

,即

解得,滿足

綜上知：當時，在上有最小值－5.

考點：1、函數(shù)的導數(shù)及其應用；2、二次函數(shù)的圖象及其性質；3、分類討論的數(shù)學思想.