Question

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。

定義：對函數，對給定的正整數，若在其定義域內存在實數，使得，則稱函數為“性質函數”。

（1）判斷函數是否為“性質函數”？說明理由；

（2）若函數為“2性質函數”，求實數的取值范圍；

（3）已知函數與的圖像有公共點，求證：為“1性質函數”。

 

Answer 1

【答案】

（1）不能為“k性質函數”

（2）

（3）見解析

【解析】（1）根據“性質函數”的概念，列出方程，利用判別式法判斷即可；（2）根據“2性質函數”的概念，列出方程，利用判別式列出關于a的不等式，再利用不等式知識求解即可；（3）由已知條件構造方程，最后化為滿足“1性質函數”的方程即可證明函數成立

解：

（1）若存在滿足條件，則即，………………….   2分

，方程無實數根，與假設矛盾。不能為

“k性質函數”。                    …………………………….   4分

（2）由條件得：，………………….  5分

即（，化簡得

，…………………………….    7分

當時，；…………………………….    8分

當時，由，

即，

。

綜上，。……………………………. 10分

（3）由條件存在使，即。…………………….11分

,,

……………………………. 12分

,…………………………….    14分

令，

則，……………………….   15分

,為“1性質函數”。……….   16分