Question

如圖，在半徑為R、圓心角為

π

3

的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點M、N在OB上，求這個矩形面積的最大值及相應的∠AOP的值．

Answer 1

分析：先根據已知中∠POB=a，扇形AB的，半徑為R，圓心角為60°，我們易得PN=Rsinα，PQ=Rcosα-

3

3

Rsinα，代入矩形面積公式，即可得到矩形面積的表達式，結合α∈（0，

π

3

），結合三角函數的性質，我們易得，當2α+

π

6

=

π

2

時，S取最大值．

解答：解：∵扇形AB的半徑為R，圓心角為60°
且∠POB=a，矩形PNMQ面積為S．
由題設可得S=Rsinα（Rcosα-

3

3

Rsinα）．
化簡得：S=

3

3

R²sin（2α+

π

6

）-

3

6

R²，α∈（0，

π

3

）
當α=

π

6

，即∠AOP=

π

6

時，
S取最大值

3

6

R²．

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數模型，三角函數降冪公式及三角函數的最值，在本題中根據P為圓心角為60°的扇形AB弧上任一點，限制α∈（0，

π

3

）易被忽略，希望大家重視．