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已知f(x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x(a＞0，a≠1)．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＞0在定義域上恒成立，求實數a的取值范圍．
分析：（1）先求定義域，看其定義域是否關于原點對稱，求出f（-x）與f（x）的關系，再根據偶函數的定義進行判定即可；
（2）本題可從a的值與1的大小入手，考慮a＞1與0＜a＜1兩種情況，綜合運用分類討論思想與數形結合思想求解．
解答：解：（1）由ax-1≠0得x≠0，即函數f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}（2分）
對于定義域的任意x，
有f(-x)=(
1
a-x-1
+
1
2
)(-x)=(
ax
1-ax
+
1
2
)(-x)=(
ax-1+1
1-ax
+
1
2
)(-x)=(
1
1-ax
-
1
2
)(-x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x=f(x)，
∴f（x）為偶函數（6分）
（2）當a＞1時，若x＞0則ax＞1
∴ax-1＞0，∴
1
ax-1
+
1
2
＞0，
又x＞0，∴f（x）＞0又f（x）為偶函數，
當x＜0時，-x＞0有，f（x）=f-x）＞0，
當0＜a＜1時f(x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x，
當x＞0時0＜ax＜1，-1＜ax-1＜0，則
1
ax-1
＜-1∴f（x）＜0不滿足題意
又f（x）為偶函數，當x＜0時-x＞0，有f（x）=f-x）＜0不滿足題意．
綜上可知：a＞1．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數奇偶性的判定和分類討論的數學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=x
1
2
，若0＜a＜b＜1，則下列各式中正確的是（　　）
A、f(a)＜f(b)＜f(
1
a
)＜f(
1
b
)
B、f(
1
a
)＜f(
1
b
)＜f(b)＜f(a)
C、f(a)＜f(b)＜f(
1
b
)＜f(
1
a
)
D、f(
1
a
)＜f(a)＜f(
1
b
)＜f(b)

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
x2+1
-1
x
(x＞0)數列{an}滿足a1=a＞0且an=f-1（an+1），
（1）求函數y=f（x）的反函數；
（2）求證：an≤(
1
2
)n-1a；
（3）若a=1試比較an與2-n的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=x2-(a+
1
a
)x+1
（Ⅰ）當a=
1
2
時，解不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若a＞0，解關于x的不等式f（x）≤0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)(x∈R，x≠
1
a
)滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的實數x有且只有一個．
（1）求f（x）的表達式；
（2）數列{an}滿足：a1=
2
3
，an+1=f(an)，bn=
an
1-an
(n∈N*)，證明：{bn}為等比數列．
（3）在（2）的條件下，若cn=
1
bn+(-1)n
(n∈N*)，Sn=c1+c2+…+cn，求證：Sn＜
3
2
(n∈N*)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出以下五個命題：
①任意n∈N*，（n2-5n+5）2=1．
②已知f(x)=
x
1+x2
，則
f(f(f(…)))
 n個
=
x
1+nx2
．
③設全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，則CU（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定義在R上的函數y=f（x）在區間（1，2）上存在唯一零點的充要條件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，則
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．
其中正確命題的序號是
②⑤
②⑤
．

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