Question

已知四棱錐P—ABCD的三視圖如圖，E是側棱PC上的動點.

(1)求四棱錐P—ABCD的體積；

(2)若點F在線段BD上且DF=3BF，則當等于多少時，有EF∥平面PAB？并證明你的結論；

(3)試證明P、A、B、C、D五個點在同一球面上.

Answer 1

解:(1)由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P—ABCD的底面是邊長為1的正方形，

側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴V_P—ABCD=S_{正方形ABCD}·PC=.

(2)當=時,有EF∥平面PAB.

連結CF延長交AB于G，連結PG，在正方形ABCD中，DF=3BF.

由△BFG∽△DFC得.

在△PCG中，,

∴EF∥PG.又PG平面PAB，EF平面PAB,

∴EF∥平面PAB.

(3)證明:取PA的中點O.連結OB、OC、OD，

連結AC，

在四棱錐P—ABCD中，側棱PC⊥平面ABCD,

底面ABCD為正方形，

可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，

又O為PA中點,∴OA=OP=OB=OC=OD.

∴點P、A、B、C、D在以點O為球心的球面上.