Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+

π

4

)，數列{a_n}的首項a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）對任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由 tan2α=

2tanα

1-tan2α

，將 tanα=

2

-1代入可求解，由α為銳角，得α=

π

8

，從而計算得 sin(2α+

π

4

)=1進而求得函數表達式．
（2）由數列{a_n}的首項a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），知a2=

1

4

+

1

2

=

3

4

，a3=

9

16

+

3

4

=

21

16

，a4=

441

256

+

21

16

=

777

256

，由對任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，知

777

256

≤

37

16

(m2+m)，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1
又∵α為銳角
∴α=

π

8

∴sin(2α+

π

4

)=1
∴f（x）=x²+x．
（2）∵數列{a_n}的首項a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），
∴a2=

1

4

+

1

2

=

3

4

，
a3=

9

16

+

3

4

=

21

16

，
a4=

441

256

+

21

16

=

777

256

，
∵對任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，
∴

777

256

≤

37

16

(m2+m)，
解得m∈(-∞，-

7

4

]∪[

3

4

，+∞)．

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意正切二倍角公式和數列遞推公式的合理運用．