Question

如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路l（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數的圖象，且點M到邊OA距離為t（0＜t＜2）．
（I）當時，求直路l所在的直線方程；
（Ⅱ）當t為何值時，地塊OABC在直路l不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求當時，直路l所在的直線方程，即求拋物線在x=時的切線方程，利用求函數的導函數得到切線的斜率，運用點斜式寫切線方程；
（Ⅱ）求出x=t時的拋物線的切線方程，進一步求出切線截正方形在直線右上方的長度，利用三角形面積公式寫出面積，得到的面積是關于t的函數，利用導數分析面積函數在（0＜t＜2）上的極大值，也就是最大值．
解答：解：（I）∵，∴y^′=-x，
∴過點M（）的切線的斜率為-t，
所以，過點M的切線方程為，即．
當t=時，切線l的方程為．
即當時，直路l所在的直線方程為；
（Ⅱ）由（I）知，切線l的方程為，
令y=2，得x=，故切線l與線段AB交點為F（），
令x=2，得y=，故切線l與線段BC交點為G（）．
地塊OABC在切線l右上部分為三角形FBG，如圖，

設其面積為f（t），
∴=
=（0＜t＜2）．
，
∴當t∈（0，）時，f^′（t）＞0，f（t）為單調增函數，
當t∈時，f^′（t）＜0，f（t）為單調減函數．
∴當t=時，f（t）的極大值（最大值）為．
∴當點M到邊OA距離為米時，地塊OABC在直路l不含游泳池那側的面積最大，最大值為平方米．
點評：本題考查了函數模型的選擇與應用，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，在實際問題中，函數在定義域內僅含一個極值，該極值往往就是最值．屬中檔題型．