Question

（2006•嘉定區二模）已知函數f(x)=|1-

1

x

|，x∈（0，+∞）．
（1）作出函數y=f（x）的大致圖象并根據圖象寫出函數f（x）的單調區間；
（2）設0＜a＜

1

2

，b＞1，試比較f（a）與f（b）的大小；
（3）是否存在實數a，b（0＜a＜b），使得函數y=f（x）在x∈[a，b]上的值域也是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數的圖象由y=

1

x

（x∈（0，+∞））的圖象先做一次關于x軸的對稱變換，再向上平移一個單位，再做一次縱向的對折變換得到，由此可得函數y=f（x）的大致圖象，進而根據圖象下降對應函數的單調遞減區間，圖象上升對應函數的單調遞增區間得到答案
（2）由已知結合函數解析式可得f（a）＞1，f（b）＜1，進而可判斷出f（a）與f（b）的大小；
（3）分當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，當a，b∈（0，1）時，和當a，b∈（1，+∞）時，三種情況分別討論a，b的存在性，最后綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）圖象如圖所示．…（3分）

單調遞減區間：（0，1]；…（4分）
單調遞增區間：[1，+∞）…（5分）
（2）由0＜a＜

1

2

，b＞1
得

1

a

＞2，0＜

1

b

＜1，…（7分）
于是f(a)=|1-

1

a

|=

1

a

-1＞2-1=1，f(b)=|1-

1

b

|=1-

1

b

＜1…（9分）
∴f（a）＞f（b）…（10分）
（3）當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，矛盾．
∴a，b∈（0，1）或a，b∈（1，+∞）…（12分）
當a，b∈（0，1）時，f（x）是減函數，于是有f（a）=b，f（b）=a，
即

1

a

-1=b，

1

b

-1=a，得a=b，舍去．…（14分）
當a，b∈（1，+∞）時，由f（x）是增函數知，f（a）=a，f（b）=b，
即1-

1

a

=a，1-

1

b

=b，∴a，b是方程x²-x+1=0的兩根，但方程x²-x+1=0
沒有實根．即實數a，b也不存在．…（17分）
∴不存在這樣的實數a，b（0＜a＜b），使得函數y=f（x）在x∈[a，b]上的值域也是[a，b]．…（18分）

點評：本題考查的知識點是函數圖象的變換，函數的單調區間，函數值的比較，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．