Question

設a_n是（3-

x

）ⁿ的展開式中x項的系數（n=2、3、4、…），則

lim

n→∞

（

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

）=

18

．

Answer 1

分析：求出a_n，然后計算

3n

an

，通過裂項，求出表達式和，然后求解極限即可．

解答：解：（3-

x

）ⁿ的展開式第三項含x一次項 T₂₊₁=C_n²3^n-2x，
系數為C_n²3^n-2

3n

an

=

3n

C 2 n 3n-2

=

18

n(n-1)

，
∵

18

n(n-1)

=18(

1

n-1

-

1

n

)，
則

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

=18(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=18(1-

1

n

)，
則

lim

n→∞

（

32

a2

+

33

a3

+…+

3n

an

）=

lim

n→∞

18(1-

1

n

)=18
故答案為：18．

點評：本題是基礎題，考查二項式定理系數的性質，數列求和已經數列的極限，考查計算能力．