Question

設P為曲線C：y=4lnx-

x2

4

上的點，且曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，則點P的橫坐標的取值范圍為（　　）

• A．(0，2

  2

  ]
• B．（0，+∞）
• C．[2，+∞）
• D．[2，2

  2

  ]

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，設出P點的坐標，得到曲線C在點P處的導數，由切線傾斜角的范圍得到斜率范圍，然后得到關于點P橫坐標的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：設點P的橫坐標為x₀（x₀＞0），
∵y′=

4

x

-

1

2

x，∴點P處的切線斜率為k=

4

x0

-

1

2

x₀，
由曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，得
點P處的切線斜率為k=

4

x0

-

1

2

x₀∈[0，1]，即0≤

4

x0

-

1

2

x₀≤1，得2≤x₀≤2

2

．
∴點P的橫坐標的取值范圍為[2，2

2

]．
故選：D．

點評：本題考查了利用導數研究曲線在某點處的切線方程，曲線在某點處的導數，就是過該點的切線的斜率，是中檔題．