Question

在雙曲線C：中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到一條漸近線的距離為1。
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線L：y=kx+m（m≠0，k≠0）與雙曲線C交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過雙曲線C的右頂點。求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標。

Answer 1

解：（1）由題意，得，
解得：a=，b=1，
∴所求雙曲線方程為。
（2）
聯立，
得，
，
化簡，得，
∴，
∵以AB為直徑的圓過雙曲線的右頂點M（，0），
∴，
即，
又，
即，
整理，得，
，
當時，L的方程為，直線過定點（，0)，與已知矛盾；
當時，L的方程為，直線過定點（2，0）； 
∴直線L過定點，定點坐標為（2，0）。