Question

已知函數，.

（1）如果函數在上是單調減函數，求的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：解：（1）當時，在上是單調增函數，不符合題意．…1分

當時，的對稱軸方程為，由于在上是單調增函數，不符合題意．

當時，函數在上是單調減函數， 則，解得，

綜上，的取值范圍是．             4分

（2）把方程整理為，

即為方程.                 5分

設 ，原方程在區間()內有且只有兩個不相等的實數根, 即為函數在區間()內有且只有兩個零點.   ……6分

 7分

令，因為，解得或（舍）   8分

當時, , 是減函數；

當時, ，是增函數.……10分

在()內有且只有兩個不相等的零點, 只需 13分

即 ∴

解得, 所以的取值范圍是() ． 14分

考點：導數的應用

點評：解決的關鍵是通過導數的符號判定函數但典型，進而來解決方程根的問題，以及函數單調性的應用，屬于基礎題。